ニュートン法による平方根の計算

アルゴリズム

平方根は Math.sqrtメソッドの呼び出しで求められると述べました．ここでは，Math.sqrtを使わず，ニュートン法を用いて平方根を計算してみましょう．

ニュートン法は，関数$f(x)$が与えられた時，その導関数$f'(x)$を用いて，$f(x) = 0$となる解$x$を数値的に求める方法です． $f(x)=x^2 - 2$とすると，$f(x)=0$の解は$x=\sqrt{2}$ ($x > 0$のとき)です．このように，$f(x)=x^2 - n$の解$x=\sqrt{n} (x > 0)$をニュートン法で求めることで，平方根を計算します．

ニュートン法のアルゴリズムは次の通りです．

適当な出発点 $x_0$から始まります．
$f(x_0)$の時の$y$座標の値を計算し，$(x_0, y_0)$を求めます．
$y_0$の絶対値が閾値（threshold; $0.00001$程度）より小さければ，$x_0$が平方根の値となります．
$(x_0, y_0)$における$f(x)$の接線の式$l_0$を求めます．
$l_0$と$x$軸との交点座標を求めます．この交点を$x_1$とし，手順の最初に戻ります（今までの$x_0$を$x_1$に置き換えて処理を進めてください）．

絶対値

絶対値は，Math.absメソッドを利用して求められます．

Double value = -10.5;
Double positiveValue = Math.abs(value);
// => 10.5 が代入される．

例題

実際にニュートン法のプログラムを書いてみましょう．

import java.util.ArrayList;
public class SquareRoot{
    void run(String[] args){
        ArrayList<Double> targets = findTargets(args);
        for(Double value: targets) {
            Double result = calculate(value);
            System.out.printf("sqrt(%f) = %f (%f)%n",
                    value, result, Math.sqrt(value));
        }
    }
    ArrayList<Double> findTargets(String[] args) {
        ArrayList<Double> targets = new ArrayList<>();
        for(Integer i = 0; i < args.length; i++){
            targets.add(Double.valueOf(args[i]));
        }
        return targets;
    }
    Double calculate(Double n){
        Double threshold = 0.00001;

        Double xValue = 10.0; // 初期値 x0
        Double yValue = function(n, xValue);
        // ここにニュートン法のプログラムを書きましょう．

        // |yValue| < threshold ならばループを抜ける．
        // （yValue の絶対値が閾値（threshold）よりも小さい）
        while(...){
            // xValue における放物線f(x)傾きを求める．
            // 傾き(slant)は 2 * xValue で求められる．
            // f'(x)=2x であるため．

            // 次は，接線が y 軸と交わる切片 b を求める（y = a x + b）．
            // (xValue, yValue) を通り 傾き a は先ほど求めた．
            // そのため，b = yValue - (slant * xValue) で求める．

            // 次に，接線が x 軸と交わるときの xValue の値を求める．

            // yValue に 放物線の y の値（xValueを元に求める）を代入する．
        }
        return xValue;
    }
    // x^2 - n を計算するメソッド．
    Double function(Double n, Double x){
        return x * x - n;
    }
}

出力例

$ java SquareRoot 2 3 4 5 6
sqrt(2.000000) = 1.414214 (1.414214)
sqrt(3.000000) = 1.732051 (1.732051)
sqrt(4.000000) = 2.000000 (2.000000)
sqrt(5.000000) = 2.236070 (2.236068)
sqrt(6.000000) = 2.449490 (2.449490)

例題の解答例

public class SquareRoot{
    void run(String[] args){
        ArrayList<Double> targets = findTargets(args);
        for(Double value: targets) {
            Double result = calculate(value);
            System.out.printf("sqrt(%f) = %f (%f)%n",
                    value, result, Math.sqrt(value));
        }
    }
    ArrayList<Double> findTargets(String[] args) {
        ArrayList<Double> targets = new ArrayList<>();
        for(Integer i = 0; i < args.length; i++){
            targets.add(Double.valueOf(args[i]));
        }
        return targets;
    }
    Double calculate(Double n){
        Double threshold = 0.00001;

        Double x = 10.0; // 初期値 x0
        Double y = function(n, x);
        // ここにニュートン法のプログラムを書きましょう．

        while(Math.abs(y) > threshold){
            Double slant = 2 * x;
            // y = a x + b が接線の式．傾きaは2xとなる．
            // bを求める．
            Double b = y - slant * x;
            // y = 0 の時のx座標を求める．
            x = -1 * b / slant;
            y = function(n, x);
        }

        return x;
    }
    // x^2 - n を計算するメソッド．
    Double function(Double n, Double x){
        return x * x - n;
    }

    public static void main(String[] args){
        SquareRoot sqrt = new SquareRoot();
        sqrt.run(args);
    }
}