ニュートン法による平方根の計算

アルゴリズム

平方根は Math.sqrtメソッドの呼び出しで求められると述べました． ここでは，Math.sqrtを使わず，ニュートン法を用いて平方根を計算してみましょう．

ニュートン法は，関数$f(x)$が与えられた時，その導関数$f’(x)$を用いて，$f(x) = 0$となる解$x$を数値的に求める方法です． $f(x)=x^2 - 2$とすると，$f(x)=0$の解は$x=\sqrt{2}$ ($x > 0$のとき)です． このように，$f(x)=x^2 - n$の解$x=\sqrt{n} (x > 0)$をニュートン法で求めることで，平方根を計算します．

ニュートン法のアルゴリズムは次の通りです．

  • 適当な出発点$x_0$から始まります．
  • $f(x_0)$の時の$y$座標の値を計算し，$(x_0, y_0)$を求めます．
  • $y_0$の絶対値が閾値（threshold; $0.00001$程度）より小さければ，$x_0$が平方根の値となります．
  • $(x_0, y_0)$における$f(x)$の接線の式$l_0$を求めます．
  • $l_0$と$x$軸との交点座標を求めます．この交点を$x_1$とし，手順の最初に戻ります（今までの$x_0$を$x_1$に置き換えて処理を進めてください）．

絶対値

絶対値は，Math.absメソッドを利用して求められます．

Double value = -10.5;
Double positiveValue = Math.abs(value);
// => 10.5 が代入される．
ニュートン法

例題

実際にニュートン法のプログラムを書いてみましょう．

public class SquareRoot{
  void run(String[] args){
    for(Integer i = 0; i < args.length; i++){
      Double value = new Double(args[i]);
      Double result = calculate(value);
      System.out.printf("sqrt(%f) = %f (%f)%n", 
          value, result, Math.sqrt(value));
      }
  }
  Double calculate(Double n){
    Double threshold = 0.00001;

    Double xValue = 10.0; // 初期値 x0
    Double yValue = function(n, xValue);
    // ここにニュートン法のプログラムを書きましょう．

    // |yValue| < threshold ならばループを抜ける．
    // （yValue の絶対値が閾値（threshold）よりも小さい）
    while(...){
      // xValue における放物線f(x)傾きを求める．
      // 傾き(slant)は 2 * xValue で求められる．
      // f'(x)=2x であるため．

      // 次は，接線が y 軸と交わる切片 b を求める（y = a x + b）．
      // (xValue, yValue) を通り 傾き a は先ほど求めた．
      // そのため，b = yValue - (slant * xValue) で求める．

      // 次に，接線が x 軸と交わるときの xValue の値を求める．

      // yValue に 放物線の y の値（xValueを元に求める）を代入する．
    }
    return xValue;
  }
  // x^2 - n を計算するメソッド．
  Double function(Double n, Double x){
    return x * x - n;
  }
}

出力例

$ java SquareRoot 2 3 4 5 6
sqrt(2.000000) = 1.414214 (1.414214)
sqrt(3.000000) = 1.732051 (1.732051)
sqrt(4.000000) = 2.000000 (2.000000)
sqrt(5.000000) = 2.236070 (2.236068)
sqrt(6.000000) = 2.449490 (2.449490)